Soit `f` la fonction définie sur `R` par :

`f(x)= xarctan({ 1+sqrt(1+x^2)}/x) text { si } x ne 0 `

`f(0) = 0 `

1) Etudier la continuité de `f` en `0`

2) Etudier la parité de `f`

3a) Montrer que `forall x in R^(ast +) : f(x)={pi}/2x -x/2arctanx` on pourra poser `x=tana ` avec ` a in ] -(pi)/2,{pi}/2[`

b) En déduire une expression simplifiée de `f` sur `R^(ast -)`

4) On considère dans `R^(ast + )` l'équation ` (E ) : arctan ({sqrt(x^2+x) + sqrt(x)}/x) = {5pi}/{12}`

a) Montrer que `( E ) <=> f(sqrt(x)) = {5pi}/{12}sqrt(x)`

b) En déduire les solutions de l'équation `( E ) `